Enclos d'aire maximale

Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que \(3\)  côtés de son enclos.

Il possède \(28\)  mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.

On appelle \(x\)  la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.

On appelle \(\mathcal{A}\)  la fonction qui à un nombre \(x\) associe \(\mathcal{A}(x)\) , l’aire de l’enclos. La fonction \(\mathcal{A}\)  est ainsi définie sur l’intervalle \([0~; 14]\) .

1. a. Vérifier que l’aire \(\mathcal{A}(x)=-2x^2+28x\) .
    b. Montrer que la forme canonique de \(\mathcal{A}(x)\)  est \(-2(x-7)^2+98\) .

2. Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction \(\mathcal{A}\) .

3. Dresser le tableau de variations de la fonction \(\mathcal{A}\) .

4. Pour quelle valeur de \(x\)  l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.